معلومات عن الأعداد النسبية

بواسطة: - آخر تحديث: ١٠:٥٨ ، ٣١ يناير ٢٠٢١
معلومات عن الأعداد النسبية


ما هي الأعداد النسبية؟

تعرف الأعداد النسبية (بالإنجليزية Rational Numbers) في الرياضيات بأنها الأعداد التي يمكن تمثيلها بكسر، بحيث يتكون كل من البسط المقام من أعداد صحيحة، شريطة أن لا تكون قيمة المقام تساوي صفرًا، وتكون الصيغة العشرية لهذه الأرقام منتهية أو دورية[١]، ويعزى الفضل في اكتشاف مفهوم الأعداد النسبية إلى عصور ما قبل التاريخ، حيث ظهرت الكسور في نصوص الهنديين البابليين والهنديينوالحضارة المصرية القديمة[٢].



ويمكن كتابة الصيغة العامة للأعداد النسبية على صورة بسط ومقام، ولكن يجب أن لا يكون هنالك عامل مشترك سوى العدد 1 بين البسط والمقام، كما يجب أن يكون المقام موجبًا:[٣]

العدد النسبي = عدد أول / عدد ثاني

ن = أ / ب


يمكن تعريف الأعداد النسبية على أنها الأعداد التي يمكن تمثيلها بكسر، بحيث يتكون كل من البسط المقام من أعداد صحيحة، شريطة أن لا تكون قيمة المقام مساوية للعدد 0، وتكون الصيغة العشرية لهذه الأرقام منتهية أو دورية.


ما هي أنواع الأعداد النسبية؟

فيما يأتي جدول يوضح أنواع الأعداد وعلاقتها بالأعداد النسبية:


النوع
التعريف
(بالإنجليزية: Real Numbers)، وتشمل الأعداد النسبية وغير النسبية، كالعدد 26[٤]، ويرمز لها بالرمز R أو ح.[٥]
الأعداد النسبية
(بالإنجليزية: Rational Numbers)، وهي الأعداد التي يمكن أن تكتب على صورة كسرية، بحيث يكون البسط والمقام أعداد صحيحة، كالعدد -7/4[٤]، ويرمز لها بالرمز Q أو ن.[٥]
الأعداد الصحيحة
(بالإنجليزية: Integers)، وهي تشمل الأعداد الموجبة والسالبة والصفر غير المجزأة، كالعدد -9[٤]، ويرمز لها بالرمز Z أو ص.[٥]
الأعداد الكاملة
(بالإنجليزية: Whole Numbers)، وهي الصفر والأعداد الموجبة غير المجزأة، كالعدد 3[٤]، ويرمز لها بالرمز W أو ك.[٥]
الأعداد الطبيعية
(بالإنجليزية: Natural Numbers)، وهي الأعداد الموجبة الكاملة فقط، كالعدد 1[٤]، ويرمز لها بالرمز N أو ط.[٥]



تشمل الأعداد النسبية كلًا من الأعداد الصحيحة والأعداد الكاملة والأعداد الطبيعية، ولكن الأعداد النسبية تتبع للأعداد الحقيقية حيث إن الأعداد الحقيقية تشمل النسبية وغير النبسية معًا.


هل الأعداد السالبة أعداد نسبية؟

يمكن أن تكون الأعداد السالبة نسبية، وذلك إذا كان العدد الموجود في بسطها أم مقامها سالبًا، وفيما يأتي شروط كون العدد عددًا نسبيًا سالبًا:[٦]


  • يجب أن تكون إشارة البسط ولمقام مختلفتين؛ أحدهما سالب والآخر موجب.
  • يجب أن يكون العدد ذو قيمة أقل من 0.
  • يجب أن يحقق شروط الأعداد النسبية، بأن يكون العدد في المقام لا يساوي 0، وأن يكون بالإمكان كتابته على صورة كسر بسطه ومقامه أعداد صحيحة.


يمكن أن تكون الأعداد النسبية سالبة، أذا كانت قيمتها أقل من 0، وكان بسطها أو مقامها سالبًا، وإذا حققت شروط الأعداد النسبية بأن يتكون بسطها ومقامها من عددين صحيحين وأن لا يساوي مقامها 0.


هل هذا عدد نسبي أم عدد غير نسبي؟

تعرف الأعداد غير النسبية (بالإنجليزية: Irrational numbers) بأنها الأعداد التي لا يمكن كتابتها على صورة كسر، ولكن يمكن كتابتها كأعداد عشرية غير منتهية، فيما يأتي جدول يحتوي على أمثلة على الأعداد النسبية وغير النسبية:[٧]


العدد
نسبي أم غير نسبي
3
نسبي لأنه عدد صحيح موجب
-6
نسبي لأنه عدد صحيح سالب
3/2
نسبي لأنه كسر بسطه ومقامه أعداد صحيحة
-6.2
نسبي لأنه عدد عشري منتهي
7.23 دوري
نسبي لأنه عدد دوري
100√
نسبي لأنه جذر مربع كامل
73√
غير نسبي لأنه جذر مربع غير كامل
π
غير نسبي لأنه يساوي ...3.141592653589 وهو عدد عشري غير منتهي
...65.65971059893
غير نسبي لأنه عدد عشري غير منتهي


تعرف الأعداد غير النسبية بأنها الأعداد التي لا يمكن كتابتها على صورة كسر، وتشمل المربعات غير الكاملة والأعداد العشرية غير المنتهية، بينما تشمل الأعداد النسبية جميع الأعداد التي يمكن كتابتها على صورة كسور والأعداد العشرية المنتهية والدورية.


العمليات التي يمكن تطبيقها على الأعداد النسبية

يمكن تطبيق العمليات الرياضية الأساسية جميعها على الأعداد النسبية، إذ يمكن جمع هذه الأعداد وطرحها وضربها وقسمتها.


عملية الجمع

دائمًا ما يكون ناتج جمع عددين نسبيين عددًا نسبيًا أيضًا[٨]، بحيث يتم جمع العددين بصورة مباشرة كما في المثال الآتي:


مثال على عملية الجمع بين الأعداد النسبية

جمع الأعداد النسبية الصحيحة:

ما هو ناتج جمع الأعداد النسبية الصحيحة 12، 34، 22؟[٩]

12 + 34 + 22 = 68

وذلك بجمع آحاد الأعداد معًا ثم العشرات.


جمع الأعداد النسبية الكسرية:

ما هو ناتج 3 / 5 + 2 / 3؟[١٠]

لجمع الكسور يجب توحيد المقامات أولًا؛ وذلك من خلال ضرب بسط الكسر الأول ومقامه بالعدد 3، وبسط ومقام الكسر الثاني بالعدد 5:

(3 × 3 / 5 × 3) + (2 × 5 / 3 × 5) =

(9 / 15) + (10 / 15) =

ثم تجمع الأعداد الموجودة في البسط، ويبقى المقام كما هو:

(9 / 15) + (10 / 15) = 19 / 15


عملية الطرح

دائمًا ما يكون ناتج طرح عددين نسبيين عددًا نسبيًا أيضًا[١١]، بحيث يتم طرح العددين بشكل مباشر كما في المثال الآتي:


مثال على عملية الطرح بين الأعداد النسبية

طرح الأعداد النسبية الصحيحة:

ما هو ناتج 222 - 89؟[٩]

222 - 89 = 133

وذلك بطرح آحاد الأعداد معًا ثم العشرات ثم المئات مع مراعة الحاجة إلى الاستلاف عند طرح الآحاد والعشرات.


طرح الأعداد النسبية الكسرية:

ما هو ناتج 2 / 3 - 3 / 5؟[١٠]

لطرح الكسور يجب توحيد المقامات أولًا؛ وذلك بضرب بسط ومقام الكسر الأول بالعدد 5، وبسط ومقام الكسر الثاني بالعدد 3:

(2 × 5 / 3 × 5) - (3 × 3 / 5 × 3) =

(10 / 15) - (9 / 15) =

ثم تطرح الأعداد الموجودة في البسط، ويبقى المقام كما هو:

(10 / 15) - (9 / 15) = 1 / 15


عملية الضرب

دائمًا ما يكون حاصل ضرب عددين نسبيين عددًا نسبيًا أيضًا[١١]، بحيث يتم ضرب العددين بشكل مباشر كما في المثال الآتي:


مثال على عملية الضرب بين الأعداد النسبية

ضرب الأعداد النسبية الصحيحة:

ما هو حاصل ضرب 11 × 4؟[٩]

11 × 4 = 44

وذلك بضرب العدد 4 بآحاد وعشرات العدد 11.


ضرب الأعداد النسبية الكسرية:

ما هو حاصل ضرب 4 / 7 × 2 / 6؟[١٠]

لضرب الكسور يتم ضرب بسط الكسر الأول ببسط الكسر الثاني، مقام الكسر الأول بمقام الكسر الثاني مباشرةً:

(4 / 7) × (2 / 6) =

8 / 42

وبما أن البسط والمقام يقبلان القسمة على 2، فيمكن تبسيط الكسر، ثم اختصار 2 من البسط والمقام، بحيث يصبح:

8 / 42 = 4 × 2 / 21 × 2 = 4 / 21


عملية القسمة

دائمًا ما يكون خارج قسمة عددين نسبيين عددًا نسبيًا أيضًا[١١]، بحيث يتم قسمة العددين بشكل مباشر كما في المثال الآتي:


مثال على عملية القسمة بين الأعداد النسبية

قسمة الأعداد النسبية الصحيحة:

ما هو خارج قسمة 25 ÷ 5؟[٩]

25 ÷ 5 = 5

وذلك لأن 5 × 5 يساوي 25، وهوالأس التربيعي للعدد 5.


قسمة الأعداد النسبية الكسرية:

ما هو خارج قسمة 2 / 3 ÷ 4 / 7؟[١٠]

لتطبيق عملية القسمة على الكسور يجب استبدال إشارة القسمة بالضرب مع قلب الكسر التالي لها، بحيث يقلب الكسر 4 / 7 ليصبح 7 / 4:

2 / 3 ÷ 4 / 7 =

2 / 3 × 7 / 4 =

ولضرب الكسور يتم ضرب بسط الكسر الأول ببسط الكسر الثاني، مقام الكسر الأول بمقام الكسر الثاني مباشرةً:

2 / 3 × 7 / 4 =

14 / 12

وبما أن البسط والمقام يقبلان القسمة على 2، فيمكن تبسيط الكسر حسب جدول الضرب، ثم اختصار 2 من البسط والمقام، بحيث يصبح:

14 / 12 = 7 × 2 / 6 × 2 = 7 / 6


دائمًا ما يكون ناتج جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة الأعداد النسبية أعدادًا نسبيةً أيضًا.


ما أبرز خصائص الأعداد النسبية؟

فيما يأتي بعض خواص الأعداد النسبية:[١٢]

  • خاصية التبديل: حيث إن أ + ب = ب + أ وينطبق هذا أيضًا على الضرب.
  • خاصية الدمج: حيث إن أ + (ب + جـ) = (أ + ب) + جـ وينطبق هذا أيضًا على الضرب.
  • خاصية التوزيع: إذ يمكن توزيع الضرب، حيث إن أ × (ب + جـ) = (أ × ب) + (أ × جـ).
  • خاصية العدد المحايد: بحيث يعد الصفر عنصر محايد جمعي، والعدد 1 عنصر محايد ضربي.
  • خاصية المعكوس: حيث إن - أ / ب هو المعكوس الجمعي للعدد النسبي أ / ب، في حين أن ب / أ هو المعكوس الضربي للعدد النسبي ذاته.


من خصائص الأعداد النسبية؛ خاصية التبديل والدمج والتوزيع وخاصية العدد المحايد وخاصية المعكوس.


هل الصفر عدد نسبي؟

يعد الصفر عددًا نسبيًا، فمع أن الصفر لا يجوز أن يكون في مقام الأعداد النسبية إلا أنه يمكن أن يكون في البسط، وبذلك فإنه يمكن كتابة الصفر على صورة بسط ومقام بعدد لا نهائي من الأشكال؛ إذ يمكن التعبير عنه بالصورة 1/0، 2/0، 3/0 إلخ.[١٣]

المراجع[+]

  1. "Rational number", britannica, Retrieved 27/1/2021. Edited.
  2. "Number", newworldencyclopedia, Retrieved 27/1/2021. Edited.
  3. "Standard Form of a Rational Number", coolgyan, Retrieved 27/1/2021. Edited.
  4. ^ أ ب ت ث ج "Numbers", uh, Retrieved 28/1/2021. Edited.
  5. ^ أ ب ت ث ج "Real Number Chart", lsco, Retrieved 28/1/2021. Edited.
  6. "Rational Numbers", byjus, Retrieved 28/1/2021. Edited.
  7. "Rational and Irrational Numbers", lcwu, Retrieved 28/1/2021. Edited.
  8. "Rational and Irrational Numbers 2", opencurriculum, Retrieved 28/1/2021. Edited.
  9. ^ أ ب ت ث "Arithmetic Operations with Rational Numbers: TEAS", registerednursing, Retrieved 28/1/2021. Edited.
  10. ^ أ ب ت ث "Rules for fractions", worc-alc, Retrieved 28/1/2021. Edited.
  11. ^ أ ب ت "Basic Properties of Rational Numbers", psu, Retrieved 28/1/2021. Edited.
  12. "Properties of Rational Numbers", byjus, Retrieved 28/1/2021. Edited.
  13. "Is zero a rational number?", toppr, Retrieved 28/1/2021. Edited.