الخصائص الرياضية لمتوازي الأضلاع

بواسطة: - آخر تحديث: ١٣:٣٤ ، ١٣ سبتمبر ٢٠٢٠
الخصائص الرياضية لمتوازي الأضلاع

متوازي الأضلاع

ما هي الأشكال الرياضية التابعة لمتوازي الأضلاع؟

يعرف متوازي الأضلاع بأنه أحد الأشكال الهندسية، حيث يتكون هذا الشكل الهندسي من أربعة أضلاع غير متقاطعة، يكون فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين، ويكون كل ضلعين متوازيين متساويين في الطول، وتكون فيه الزوايا المتقابلة متساوية في القياس، وفي حال كان الشكل الهندسي يحتوي على ضلعين اثنين فقط متقابلين متوازيين فيطلق على هذا الشكل الهندسي اسم شبه منحرف.[١]

وهنالك عدد من الأشكال الهندسية التابعة لمتوازي الأضلاع مثل؛ المعين الرباعي الذي تكون زواياه ليست قائمة وأضلاعه متوازية ولكن المتجاورة منها غير متساوية، المستطيل متوازي الأضلاع ذي الزوايا الأربع متساوية القياس، المعين متوازي الأضلاع ذي الأضلاع الأربعة متساوية الطول، والمربع متوازي الأضلاع ذي الأضلاع متساوية الطول والزوايا متساوية القياس.[١]


متوازي الأضلاع هو أحد الأشكال الهندسية، يتكون من أربعة أضلاع غير متقاطعة حيث يكون كل ضلعين متقابلين متوازيين ومتساويين في الطول والزوايا المتقابلة متساوية في القياس.


الخصائص الرياضية لمتوازي الأضلاع

بماذا يتميز متوازي الأضلاع عن الأشكال الهندسية الأخرى؟

تتميز الأشكال الهندسية عن بعضها البعض بمجموعة من الخصائص، ولذلك فإن هنالك خصائص رياضية تميز متوازي الأضلاع عن غيره من الأشكال الهندسية الأخرى، وفيما يأتي سيتم تقديم بعض الخصائص الرياضية لمتوازي الأضلاع:[٢]

خصائص أقطار متوازي الأضلاع

يتميز متوازي الأضلاع بأنه إذا قُسّم باستخدام خط قطري ممتد بين زاويتين متقابلتين فسينتج عن هذا الانقسام مثلثين متطابقين في القياسات والزوايا، كما يتميز متوازي الأضلاع بتقاطع القطرين الممتدين فيه من الزوايا المتقابلة، بحيث يتنصف هذه الأقطار بعضها البعض، فإذا احتوى شكل هندسي رباعي ما على أقطار تنصف بعضها البعض فيمكن تصنيف هذا الشكل على أنه متوازي أضلاع.[٢]

خصائص أضلاع متوازي الأضلاع

يتمييز متوازي الأضلاع بأنه يحتوي على زوجين من الأضلاع المتقابلة المتوازية والمتساوية، أي أن كل زوجين متقابلين من الأضلاع متساويين في الطول، فإذا احتوى شكل هندسي رباعي ما على زوج واحد من الأضلاع المتقابلة المتساوية والمتوازية فيمكن تصنيف هذا الشكل على أنه متوازي أضلاع.[٢]

خصائص زوايا متوازي الأضلاع

يتمييز متوازي الأضلاع باحتوائه على أربعة زوايا؛ تكون فيه كل زاويتين متقابلتين متساويتين في القياس، فإذا كان كل زوج من الزوايا المتقابلة متساوية في شكل رباعي ما فيمكن تصنيف هذا الشكل على أنه متوازي أضلاع.[٢]


قوانين أقطار متوازي الأضلاع

عند رسم قطرين مبتدئين من الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع فسيتقاطع هذين القطرين في المنتصف، كما يقوم الخط القطري الواحد في المتوازي بإنتاج مثلثين متطابقين، ويمكن فهم قوانين أقطار متوازي الأضلاع من خلال تسمية زوايا متوازي أضلاع ما، فعلى سبيل المثال يكتب الحرف أ عند إحدى الزوايا ومن ثم يتم الانتقال إلى الزاوية الأخرى باتجاه عقارب الساعة أو عكسها، بحيث تسمى الزوايا الأخرى على التوالي؛ مثل أ ب ج د، إذ سينتج عن هذه التسمية:[٣]

  • القطرين أ ج، ب د: سينتجان عن توصيل الزوايا المتقابلة الأقطار أ ج وب د، حيث سيقسم أي من هذين القطرين متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين.
  • الزوايا أ، ب، ج، د: بحيث ستكون كل زاويتين متقابلتين متساويتين؛ أي أن الزاوية أ = الزاوية ج، والزاوية ب = الزاوية د.


يمكن اشتقاق قوانين أقطار متوازي الأضلاع بالاعتماد على نظرية فيثاغورس والاقترانات المثلثية، فإذا أريد حساب أطوال الأقطار أ ج، ب د لمتوازي الأضلاع أ ب ج د، فيمكن استخدام أحد القوانين الآتية، والتي يساوي رفع قيمتها للقوة 0.5 الجذر التربيعي للقيمة نفسها:[٤]

  • القطر أ ج = الجذر التربيعي لـ(مربع القاعدة^2 + مربع الطول الجانبي + 2 * طول القاعدة * الطول الجانبي * جيب التمام للزاوية أ).

أ ج = (أ ب^2 + ج د^2 + 2 * أب * ج د * جتا أ)^0.5


  • القطر أ ج = الجذر التربيعي لـ(مربع القاعدة^2 + مربع الطول الجانبي - 2 * طول القاعدة * الطول الجانبي * جيب التمام للزاوية ب).

أ ج = (أ ب^2 + ج د^2 - 2 * أب * ج د * جتا ب)^0.5


  • القطر ب د = الجذر التربيعي لـ(مربع القاعدة^2 + مربع الطول الجانبي + 2 * طول القاعدة * الطول الجانبي * جيب التمام للزاوية ب).

ب د = (أ ب^2 + ج د^2 + 2 * أب * ج د * جتا ب)^0.5


  • القطر ب د = الجذر التربيعي لـ(مربع القاعدة^2 + مربع الطول الجانبي - 2 * طول القاعدة * الطول الجانبي * جيب التمام للزاوية أ).

ب د = (أ ب^2 + ج د^2 - 2 * أب * ج د * جتا أ)^0.5


مساحة متوازي الأضلاع

تعرف مساحة متوازي الأضلاع بأنها الوحدات المربعة اللازمة لملئه، ويتم حساب مساحة متوازي الأضلاع باستخدام القانون:

المساحة (م) = طول القاعدة (ق) * الارتفاع (ع).

من الجدير بالذكر أنه يمكن استخدام أي ضلع في متوازي الأضلاع كقاعدة، بينما يكون الارتفاع هو طول المسافة العمودية بين القاعدة والضلع المقابل لها، بحيث يتم إسقاط خط وهمي عمودي على القاعدتين بسبب احتمالية انحراف الأضلاع الجانبية عن الزاوية 90 وتشكيلها لزوايا حادة أو منفرجة، ودائمًا ما يكون ناتج حساب مساحة متوازي الأضلاع عبارة عن قيمة تستخدم وحدات القياس المربعة.[٥]

لمعرفة المزيد يمكنك قراءة المقال الآتي: مساحة متوازي الأضلاع ومسائل رياضية تطبيقية.


محيط متوازي الأضلاع

يعرف المحيط بأنه المسافة الإجمالية لجميع أضلاع الشكل الهندسي، ويتم حساب هذا المحيط من خلال جمع طول جميع الأضلاع مع بعضها البعض، ولحساب محيط متوازي الأضلاع، يكون لكل زوج من الأضلاع المتقابلين نفس الطول، وبالتالي فإن محيط متوازي أضلاع يساوي مجموع ضعف القاعدة مع ضعف طول الضلع الآخر، حيث يتم حساب محيط متوازي الأضلاع باستخدام المعادلة؛

المحيط = 2 * (طول القاعدة + طول الضلع الآخر)، أو المعادلة؛ المحيط = 2 * طول القاعدة + 2 * الضلع المجاور للقاعدة،[٦]


من الجدير بالذكر أن معادلة محيط متوازي الأضلاع هي نفسها معادلة محيط المستطيل.[٧]


لمعرفة المزيد يمكنك قراءة المقال الآتي: محيط متوازي الأضلاع ومسائل رياضية تطبيقية.

المراجع[+]

  1. ^ أ ب "Parallelogram", www.wikiwand.com, Retrieved 2020-07-02. Edited.
  2. ^ أ ب ت ث "8.3 Properties of a Parallelogram", www.ck12.org, Retrieved 2020-07-02. Edited.
  3. "What Is a Parallelogram?", tutors.com, Retrieved 2020-07-02. Edited.
  4. "Parallelogram", mathworld.wolfram.com, Retrieved 2020-07-06. Edited.
  5. "Area of a parallelogram", www.mathopenref.com, Retrieved 2020-07-02. Edited.
  6. "Perimeter of a parallelogram", www.mathopenref.com, Retrieved 2020-07-06. Edited.
  7. "Perimeter, perimeter formulas", www.math10.com, Retrieved 2020-07-06. Edited.