أنواع الزوايا

رغد عبادي

تمت الكتابة بواسطة:

تم التدقيق بواسطة: سيف ابو عامر آخر تحديث: ٠٧:٥٧ ، ١١ أغسطس ٢٠٢١

أنواع الزوايا
أنواع-الزوايا/

ما هي أنواع الزوايا وقياساتها؟

تُعرف الزاوية في الرياضيات عَلى أنها الشَكل الناتج مِن التقاء خَطين أو شُعاعين في نقطة مُشتركة، ويُطلَق عَلى كُل مِن الخَطين اسم جانبي الزاوية، والنقطَة المُشتركة بينهما تُسمى رأس الزاوية، ويُرمَز للزاوية رياضيًا بالَرمز (∠)،[١] وتصَنف أشكال الزوايا حسب قياسها الى عدة أنواع رئيسية، وفيما يَلي ذكر لأشهر أنواع الزوايا وقياساتها:[٢]


الزاوية القائمة

تُعرَف الزاوية القائِمة (بالإنجليزية: Right Angle) على أنها الزاوية التي يساوي قياسها 90°، أي أنها تتكون بينَ خَطين مُتعامدين على بعضهما البعض.[٢]


الزاوية الحادة

يُطلق عَلى أي زاوية قياسها أقل من 90° اسم الزاوية الحادة (بالإنجليزية: Acute Angle)، أي أنها تحمِل القيم التي تَكون أكبَر من 0° وأقل من 90°؛ مِثل الزوايا 35°، و60°، و16°، وغيرها.[٢]


الزاوية المُنفرجة

تُعرَف الزوايا المُنفرجة (بالإنجليزية: Obtuse Angle) عَلى أنها الزوايا التي قياسها أكبر من 90° وأقل مِن 180° ويُمكن حسابها بالقانون التالي: (قياس الزاوية المُنفرجة = 180 - قياس الزاوية الحادة)، وذلك في حال كان قياس الزاوية الحادة المجاورة لها على نفس الخط المستقيم مَعلوم؛ ومن أمثلتها 100°، و160°، و95°، و122°.[٢]


الزاوية المُستقيمة

تُعرف الزاوية المُستقيمة (بالإنجليزية: Straight Angle) بأنها الزاوية التي يساوي قياسها 180° فقط، وسميت بالمستقيمة نظرًا لأنها تمثل خَطًا مستقيمًا، وهي تمثل بكل تأكيد مجموع زاويتين إحداهما منفرجة والأخرى حادة، أو زاويتين قياسمها 90°.[٢]


الزاوية المُنعكسة

</div>تُعرَف الزاوية المُنعكسة (بالإنجليزية: Reflex Angle) عَلى أنها الزاوية التي قياسها أكبر من 180° وأقل مِن 360°، ويمكِن حسابها من خلال القانون الآتي: (قياس الزاوية المُنعكسة = 360° - قياس الزاوية الحادة)، وذلك في حال كان قياس الزاوية الحادة المجاورة لها مَعلوم؛ ومن أمثلتها 200°، و290°، و310°.[٢]


أنواع أخرى للزوايا

تضاف للأنواع السابقة الزوايا التالية:

  • الزاوية الصفرية: التي يكون فيها الخطين فوق بعضهما مباشرة، أي الزاوية بينهما تساوي 0°.[٣]
  • الزاوية الكامِلة التي يكون قياسها 360°: أي أنها تمثل دَورة كاملة لأحد جانبي الزاوية لتكمل دائرة كاملة.


وإلى جانِب ذلك يُمكِن تَصنيف الزوايا حَسب اتجاه قياسِها مِن قاعدة الخَط المُستقيم إلى نوعين هما:[١]

  • الزوايا الموجِبة: وهِي الزوايا التي تقاس عَكس اتجاه دَوران عقارِب الساعة.
  • الزوايا السالبة: وهي الزوايا التي تقاس مَع اتجاه دَوران عَقاربِ الساعة.


تُعرف الزاوية في الرياضيات عَلى أنها الشَكل الناتج مِن التقاء خَطين أو شُعاعين في نقطة مُشتركة، ويوجد للزوايا عدة أنواع تختلف فيما بينها في الشكل والقياس، وهي؛ الزوايا القائمة، والمنفرجة، والحادة، والمنعكسة، والمستقيمة، وبحَسب تَعريف إقليدس فإن الزاوية الحادة أصغَر مِن الزاوية القائِمة، والزاوية المُنفرجة أكبَر مِن الزاوية القائِمة، مع وجود زوايا أخرى أضيفت فيما بعض للرياضيات مثل الزاوية المستقيمة والزاوية الكاملة.


العلاقات بين الزوايا

يُمكِن تَصنيف أنواع العلاقات بينَ الزوايا عَلى النحو الآتي:[٤]


الزاويتان المتتامتان

تُشكل الزاويتان المتتامتان (بالإنجليزية: Complementary angles) زاوية قائِمة واحدة قياسها 90°، بحيث تكون كُل زاوية مُتممة للزاوية الأخرى؛ ومن أمثلتها؛ الزوايا (45° و45°)، و(80°و10°)، وتُعتَبر الزاويتان المُتممتان لبعضهما زوايا حادّة، لكن لا يُشتَرط أن تكون أي زاويتين حادتين مُتممتين لبعضهما مِثل الزاويتان (20°،60°) اللتان لا تعطيان مجموع 90°، إضافة إلى أنه لا يُمكِن لزاويتان مُنفرجتان أو زاويتان قائِمتان أن تُتمما بَعضهما.[٣]


الزاويتان المتكاملتان

تُشكل الزاويتان المتكاملتان (بالإنجليزية: Supplementary Angles) معًا زاوية مُستقيمة واحدة قياسها 180°، بحيث تَكون كُل مِنها مُكمّلة للأخرى، على سبيل المِثال؛ الزوايا (10° و170°)، و(50°و130°) زوايا متكاملة، وتكون الزاويتان القائِمتان (90°و90°) مكملتان لبعضهما دائِمًا، ولا يُمكن نهائيًا لأي زاويتان حادتان أو زاويتان مُنفرجتان أن تكمل بَعضهما البعض، لأنهما لا تعطيا مجموع 180°.[٣]


الزاويتان المتجاورتان

تشترك الزاويتان المتجاورتان (بالإنجليزية: Adjacent Angles) في رأس واحد وضلع أو ذراع واحدة فقط، ولا تَربطهما أي نقاط داخلية.[٣]


الزوايا المتقابلة بالرأس

تتقابَل الزوايا غَير المُتجاورة والمتكونة مِن تقاطع خَطين برأس واحدِ وتعرَف بالزوايا المُتقابلة بالرأس (بالإنجليزية: Vertically Opposite Angles)، بحيث لا يربطهما أي ضلع مُشترك، ويكون قياس الزوايا المتقابلة بالرأس متساوٍ.[٣]


الزاويتان المتناظرتان

إذا قطع خَط مُستقيم خطين متوازيين فإن قياسات الزوايا عَلى جانبي الخَط المُستقيم مِن نفس الجِهة تَكون مُتساوية وتُعرَف بالزوايا المُتناظِرة (بالإنجليزية: Corresponding Angles).[٥]


الزاويتان المتبادلتان

إذا قَطع خَط مُستقيم خطين متوازيين، فإن قياسات الزوايا مِن الجهات المُختلفة عَلى الخَط المُستقيم تَكون مُتساوية وتُعرَف بالزوايا المُتبادلة (بالإنجليزية: Alternate Angles).[٥]


تفيد العلاقات بينَ الزوايا في دراسة الخصائِص الهندسية المُختلفة، ويمكن تقسيم الزوايا وفق العلاقات بينها إلى؛ زوايا متتامة مجموعها 90°، ومتكاملة مجموعها 180°، ومتجاورة تشترك بضلع ورأس، ومتقابلة بالرأس متساوية في القياس، ومتناظرة متساوية في القياس، ومتبادلة أيضًا متساوية في القياس.


ما هي وحدات قياس الزوايا؟

عِند رسم الزاوية في مَوضِع قياسي عَلى نظام الاحداثيات فإن قيمة الزاوية تُمثل مقدار الدوران المَطلوب للانتقال مِن جانِب الى جانِب آخر، بحيث يُعطي الدوران مَع عَقارِب الساعة قيمة مُوجبة والدوران عَكس عقارب الساعَة قيمة سالبة، وفيما يَلي ذِكر لبَعض مِن أنواع وحدات القياس التي تُستخدم للتعبير عَن قيمة الزاوية:[٦]


وحدة الدرجة

تُعتبر وحدة الدَرجة (بالإنجليزية: Degree) وحدة القياس الأكثَر شيوعًا في وَصف مقدار دَوران الزاوية، ويُرمز لها بالرَمز (°) وتمثل الدورة الواحِدة 360°.[٦]


وحدة الراديان

تعد وحدة الراد أو الراديان (بالإنجليزية: Radian) إحدى وحدات قياس الزاوية التي تُعبِر عن مقدار دوران الزاوية بدلالة نصف قطر الدائِرة، ويُرمز لها بالرمز راد (rad)، وتمثل الدَورة الواحدة في هذه الوحدة 2π، أي أن كل راد يساوي 180/π وأن كل 360 درجة تعادل 2π.[٦]


وحدة الغراد

عُرفت وحدة الغراد (بالإنجليزية: Gradian) في فَرنسا كإحدى الوحدات البديلة لقياس الزوايا، بحيث يعادل كُل 400 غراد دَورة كامِلة بالراديان أي 2π.[٧]


تتعدد وحدات قياس الزوايا، ومن أبرزها؛ الدرجة، والراديان، والغراد، وعلى الرُغم مِن كون وحدة الدَرجة أكثر وحدة شائِعة بينَ الأفراد، إلا أنه في عِلم المُثلثات الحَديث وحساب التَفاضُل والتكامَل تقاس الزوايا بالراديان، بينما يكثر استخدام وحدة الغراد في النظام المِتري.


أمثلة على قياس الزوايا

وفيما يأتي بعض الأمثلة على قياس الزوايا في حالات عدة:


تصنيف الزوايا إلى أنواعها

مثال: صَنّف الزوايا التالية: 45°،140°،90°،350°،15°،180°،250°، 99°،300°، حسب قياسها إلى زوايا قائِمة، أو حادة، أو مُنفرِجة، أو مُستقيمَة، أو مُنعكِسة مَع بيان السَبب:[٨]

  • الحَل: يوضح التَصنيف في الجَدول الآتي:


قياس الزاوية
نوع الزاوية
السبب
°45
زاوية حادّة
لأنها أكبَر من 0° وأقل مِن 90°.
°140
زاوية مُنفرجة
لأنها أكبَر مِن 90° وأقل مِن 180°.
°90
زاوية قائمة
لأنها تُحقق شَرط الزاوية القائِمة وتساوي 90°.
°350
زاوية مُنعكسَة
لأنها أكبَر مِن 180° وأقل مِن 360°.
°15
زاوية حادة
لأنها أكبَر من 0° وأقل مِن 90°.
°180
زاوية مُستقيمة
لأنها تُحقق شَرط الزاوية المُستقيمة وتساوي 180°.
°250
زاوية مُنعكسة
لأنها أكبَر مِن 180° وأقل مِن 360°.
°99
زاوية مُنفرجة
لأنها أكبَر مِن 90° وأقل مِن 180°.
°300
زاوية مُنعكسة
لأنها أكبَر مِن 180° وأقل مِن 360°.


إيجاد قياس زاوية بين خطين متعامدين

مثال: إذا تقاطع الخطان المُتعامدان (أ ب) و(ج د)، في النقطة (هـ)، فما قياس الزاوية (ج هـ ب)؟[٩]

  • الحل: عِند توضيح السؤال بالرسم يتبين أن الزاوية أ هـ ج تمثل زاوية قائمة قياسها 90° بالإضافة الى أنها تُشكل مع الزاوية المَجهولة ج هـ ب زاوية مستقيمة قياسها 180°، مما يَعني أن كُل مِن الزاوية أ هـ ج والزاوية ج هـ ب زاويتان متكاملتان، وعليه يكون؛ قياس الزاوية ج هـ ب = 180°- قياس الزاوية أ هـ ج = 180°-90°= 90°.


إيجاد قياس زاوية متممة لزاوية أخرى

مثال: ما قياس الزاوية المُتممة للزاوية 55°؟[١٠]

  • الحَل: إن مَجموع قياس الزاويتان المتتامتان يساوي 90° وَعليه فإن؛ قياس الزاوية المُتممة للزاوية 55°= 90°- 55°= 35°.


إيجاد الزاوية الحادة بين مجموعة زوايا

مثال (1): مثلث يَحتوي عَلى زاوية قياسها 50° وزاوية أخرى قياسها 70°، فما قياس الزاوية الثالثة ونَوعها؟[١١]

  • الحل: مَجموع الزوايا الداخلية في المُثلث يساوي 180° وعليه: س+50°+70°=180°، ومِنه س = 60° ونوعها زاوية حادة.


مثال (2): في مُثلث أ ب ج كانَ قياس الزاوية ب أ ج يساوي 91° وقياس الزاوية أ ب ج يساوي 41° فما قياس الزاوية أ ج ب؟

  • الحل: نظرًا لأن مجموع زوايا المُثلث تساوي 180° فإن: 180°-91°- 41°= س وعليه قيمة س= 48°.


إيجاد قياس زاوية مكمّلة لزاوية أخرى

مثال: ما قياس الزاوية المكمّلة للزاوية 40° والزاوية 120°؟[١٠]

  • الحل: إن مَجموع قياس الزاويتان المتكامِلتان يساوي 180°، وعَليه فإن؛
    • قياس الزاوية المكمّلة للزاوية 40°= 180°- 40°= 140°.
    • قياس الزاوية المكمّلة للزاوية 120°= 180° - 120° = 60°.


أسئلة شائعة حول الزوايا

ما هي الزاوية المليئة؟

تُعرَف الزاوية المَليئة بالزاوِية الكامِلة التي تساوي 360° أو 2π، أي أنها تُعادِل أربَع زوايا قائِمة أو زاويتان مستقيمتان.[١٢]


ما هي الزوايا الخاصة؟

يُطلَق عَلى كُل مِن الزوايا (60°، و45°، و30°) اسم الزوايا الخاصَة لأنها تُعطِي قيمًا مُثلثية واضحة دونَ الحاجة لاستخدام الآلة حاسبة في حَل المسائِل.[١٣]


 ما مجموع زوايا المثلث؟

تشترِك جَميع المُثلثات بجميع أنواعها في أن قياسَ زواياها الداخلية يساوي 180°، بينما يساوي مجموع زواياها الخارجية 360°.[١٤]


هل يمكن قياس الزوايا بدون منقلة؟

نَعم، فعلى الرُغم مِن أن المِنقلة تُستخدم لقياس الزاوية مُباشِرة، إلا أنه يُمكِن استخدام الخصائِص الهندسية للمُثلثات كقانون الجيب وجيب التمام والظِل لقياس الزوايا المُختلفة، وذلك من خلال التعرف على أطوال أضلاع المثلث.[١٥]

المراجع[+]

  1. ^ أ ب "Angle Definition", BYJU'S, Retrieved 28/6/2021. Edited.
  2. ^ أ ب ت ث ج ح "Types of Angles-acute,Right,Obtuse ,Straight and Reflex Angles", Vedantu, Retrieved 28/6/2021. Edited.
  3. ^ أ ب ت ث ج Veerendra (8/12/2020)، "What Are The Different Types Of Angles"، Aplus Topper، Retrieved 28/6/2021. Edited.
  4. ↑ "Pairs of Angles", Math-Only-Math.Com, Retrieved 28/6/2021. Edited.
  5. ^ أ ب "Transversal", Varsity Tutors, Retrieved 28/6/2021. Edited.
  6. ^ أ ب ت "Angle", ENCYCLOPedia.com, 29/5/2018, Retrieved 28/6/2021. Edited.
  7. ↑ DEBORAH (12/12/2014), "Trigonometry Review of Degrees, Radians, and Measurement of Angles", School Tutoring Academy, Retrieved 28/6/2021. Edited.
  8. ↑ "Types of Angles – Explanation & Examples", The Story of Mathematics, Retrieved 27/6/2021. Edited.
  9. ↑ "Angle Pairs", Brainfuse, Retrieved 28/6/2021. Edited.
  10. ^ أ ب "Supplementary Angles", MATH is FUN, Retrieved 27/6/2021. Edited.
  11. ↑ "Unit 5 Section 6 : Finding Angles in Triangles", CENTER FOR INNOVATION IN MATHEMATICS TEACHING, Retrieved 28/6/2021. Edited.
  12. ↑ "Full Angle", Wolfram MathWorld, Retrieved 27/6/2021. Edited.
  13. ↑ "Trigonometric Special Angles – Explanation & Examples", The Story of Mathematics, Retrieved 27/6/2021. Edited.
  14. ↑ "Angles in a triangle sum to 180° proof", Khan Academy, Retrieved 28/6/2021. Edited.
  15. ↑ Karl Wallulis (30/4/2018), "How to Calculate Angles Without a Protractor", SCIENCING, Retrieved 28/6/2021. Edited.

250992 مشاهدة