قانون محيط المستطيل

بواسطة: - آخر تحديث: ١٥:١٣ ، ٢٠ يناير ٢٠٢١
قانون محيط المستطيل


كيف يتم حساب محيط المستطيل؟

يعرف المستطيل (Rectangle) في الرياضيات بأنه شكل هندسي رباعي الأضلاع، بحيث يكون قياس جميع زواياه الداخلية يساوي 90 درجة، ويكون كل ضلعين متقابلين متساويين في الطول[١]، في حين يعرف محيط المستطيل (بالإنجليزية: Perimeter of a Rectangle) بأنه مجموع أطوال الأضلاع الخارجية للمستطيل.[٢]


قانون الطول والعرض

يتم اشتقاق قانون الطول والعرض لمحيط المستطيل بالاعتماد على تعريفه، إذ إنه مجموع أطوال الأضلاع وبالتالي فإن:[٣]


محيط المستطيل = الطول + العرض + الطول + العرض

ح = ل + ع + ل + ع


وبما أن كل ضلعين متقابلين متساويين فإن:[٣]

قانون محيط المستطيل = (2 × البعد الأول) + (2 × البعد الثاني)

محيط المستطيل = (2 × الطول) + (2 × العرض)

ح = (2 × ل) + (2 × ع)


وبأخذ 2 كعامل مشترك، يصبح القانون:

ح = 2 × (ل + ع)


بحيث ترمز:

ح: محيط المستطيل.

ل: طول المستطيل.

ع: عرض المستطيل.


قانون المساحة وأحد الأبعاد 

يتم إيجاد محيط المستطيل إذا علمت مساحته وقياس أحد أضلاعه سواء أكان الطول أم العرض، بحيث يتم الاعتماد على هاتين المعلومتين في إيجاد قيمة الضلع المجهول كالآتي:[٤]


مساحة المستطيل = البعد الأول × البعد الثاني

البعد الثاني = مساحة المستطيل ÷ البعد الأول


ثم يتم تعويض قيمة البعد الذي تم إيجاده في قانون المحيط السابق ذكره:[٤]


محيط المستطيل = (2 × البعد الأول) + (2 × البعد الثاني)

محيط المستطيل = (2 × البعد الأول) + (2 × (مساحة المستطيل ÷ البعد الأول))

ح = (2 × (م ÷ أ)) + (2 × أ)


بحيث ترمز:

ح: محيط المستطيل.

أ: البعد الأول.

م: مساحة المستطيل.


قانون طول القطر وأحد الأبعاد

يتم إيجاد محيط المستطيل بالاعتماد على طول قطره وأحد أبعاده، إذ يستخدم طول القطر لتحديد طول الضلع المجهول وفقًا للآتي:[٥]


القطر^2 = (البعد الأول^2 + البعد الثاني^2)

البعد الثاني = (القطر^2 - البعد الأول^2)


ومن ثم يتم تعويض قيمة الطول في القانون السابق ذكره:[٥]

محيط المستطيل = (2 × البعد الأول) + (2 × البعد الثاني)


محيط المستطيل = (2 × البعد الأول) + (2 × ((القطر^2 - البعد الأول^2)√))


ح = (2 × ((ق^2 - أ^2)√)) + (2 × أ)


بحيث ترمز:

ح: محيط المستطيل.

أ: البعد الأول.

ق: قطر المستطيل.


يتم إيجاد قيمة محيط ما بالاعتماد على عدد من الطرق، وذلك حسب المعطيات المتوفرة، بحيث يمكن إيجاد قيمته إذا علمت قيم الطول والعرض، أو قيمة المساحة وأحد الأضلاع، أو طول القطر وأحد الأبعاد.


أمثلة على حساب محيط المستطيل

فيما يأتي عدد من الأمثلة التي توضح كيفية حساب محيط المستطيل بالاعتماد على الطرق التي ذكرت آنفًا، وذلك باستخدام معلومات مختلفة:


إذا كان الطول والعرض معلومين

إذا كان طول مستطيل ما 9 سم وعرضه 4 سم فما هو محيط هذا المستطيل؟[٦]


الطريقة الأولى:

وفقًا للقانون: ح = ل + ع + ل + ع

المحيط = 9 + 4 + 9 + 4 = 26 سم


الطريقة الثانية:

وفقًا للقانون: ح = 2 × (ل + ع)

المحيط = 2 × (9 + 4) = 2 × 13 = 26 سم


إذا كان طول قطر المستطيل وأحد أبعاده معلومين

ما هو محيط المستطيل الذي طوله يساوي 40 سم وطول قطره يساوي 4 سم؟[٧]

الطريقة الأولى:

وفقًا للقانون الذي تم اشتقاقه سابقًا: ح = (2 × (ق^2 - أ^2)) + (2 × أ)

ح = (2 × (41^2 - 40^2)) + (2 × 40)

ح = (2 × (1681 - 1600)) + (2 × 40)

ح = (2 × (81)) + (2 × 40)

ح = (2 × (9)) + (2 × 40) = 18 + 80 = 98 سم


الطريقة الثانية:

حسب الطريقة التقليدية: بإيجاد قيمة البعد المجهول من قانون القطر:

القطر^2 = (البعد الأول^2 + البعد الثاني^2)

41^2 = (40^2 + البعد الثاني^2)

1681 = 1600 + البعد الثاني^2

بطرح 1600 من الطرفين:

81 = البعد الثاني^2

بأخذ الجذر التربيعي للطرفين:

البعد الثاني = 9 سم


ثم بالتعويض في قانون المحيط: ح = 2 × (ل + ع)

المحيط = 2 × (9 + 40) = 2 × 49 = 98 سم


إذا كانت مساحة المستطيل وأحد أبعاده معلومين

ما هي قيمة محيط مستطيل ما، إذا كان طول أحد أضلاعه 4 وحدات ومساحته تساوي 36 وحدة قياس مربعة؟

الطريقة الأولى:

وفقًا للقانون الذي تم اشتقاقه سابقًا: ح = (2 × م ÷ أ) + (2 × أ)

المحيط = (2 × 36 ÷ 4) + (2 × 4) = 18 + 8 = 26 وحدة قياس مربعة


الطريقة الثانية:

حسب الطريقة التقليدية: بإيجاد قيمة البعد المجهول من قانون مساحة المستطيل:

مساحة المستطيل = البعد الأول × البعد الثاني

36 = 4 × البعد الثاني

بقسمة الطرفين على العدد الحقيقي 4:

البعد الثاني = 9 وحدة

ثم تعويض قيمة البعد الأول والثاني مكان الطول والعرض في قانون المحيط: ح = 2 × (ل + ع)

المحيط = 2 × (9 + 4) = 26 وحدة قياس مربعة


إذا كانت مساحة المستطيل معلومة

ما هي قيمة محيط المستطيل الذي طوله يساوي ضعف عرضه ومساحته تساوي 800 سم مربع؟[٨]

الطول = 2 × العرض

ثم تعويض الطول في قانون المساحة لإيجاد العرض:

مساحة المستطيل = الطول × العرض

مساحة المستطيل = (2 × العرض) × العرض

مساحة المستطيل = 2 × العرض^2

800 = 2 * العرض^2

ثم بقسمة الطرفين على 2:

400 = العرض^2


بأخذ الجذر التربيعي للطرفين للتخلص من الأس التربيعي:

العرض = 20 سم


الطريقة الأولى:

بالتعويض في القانون مباشرةً: ح = (2 × م ÷ أ) + (2 × أ)

المحيط = (2 × 800 ÷ 20) + (2 × 20) = 80 + 40 = 120 سم


الطريقة الثانية:

إيجاد قيمة الطول حسب معطيات السؤال وبتعويض قيمة العرض:

الطول = 2 × العرض

الطول = 2 × 20 = 40 سم


بالتعويض في قانون المحيط: ح = 2 × (ل + ع)

المحيط = 2 × (40 + 20) = 2 × 60 = 120 سم


يوجد العديد من الأمثلة على حساب محيط المستطيل التي يمكن حلها بطريقة سلسة وبسيطة من خلال التعويض بالقوانين بعد فهم المعطيات لاختيار القانون المناسب.

المراجع[+]

  1. "Rectangle", byjus, Retrieved 17/1/2021. Edited.
  2. "Perimeter of Rectangle", byjus, Retrieved 17/1/2021. Edited.
  3. ^ أ ب "Perimeter of a Rectangle", byui, Retrieved 17/1/2021. Edited.
  4. ^ أ ب "How to Find Perimeter from Area", study, Retrieved 17/1/2021. Edited.
  5. ^ أ ب "Area, Perimeter, and Diagonal of a Rectangle", codezing, Retrieved 17/1/2021. Edited.
  6. "Area and Perimeter of Rectangles", ck12, Retrieved 17/1/2021. Edited.
  7. "Find the perimeter of the rectangle whose length is 40 cm and a diagonal is 41 cm.", toppr, Retrieved 17/1/2021. Edited.
  8. "The length of a rectangle is twice its breadth. The perimeter of the rectangle is 120 cm. Find the length and breadth of this rectangle. Also find its area,", toppr, Retrieved 17/1/2021. Edited.