ما هي مقاييس التشتت في الإحصاء

• ذات صلة
• مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت
• تعريف مقاييس النزعة المركزية

مقاييس التشتت في الإحصاء

مقاييس التشتت (Measures of dispersion) ما هي إلا مجموعة مقاييس تساعد على قياس انتشار البيانات حول قيمة مركزية، وتساهم في تحديد مدى تمدد وتباعد أو حتى تجانس البيانات المُعطاة، بصورةٍ عامة لا بدّ من التنويه إلى أن مع زيادة تباين البيانات ستزيد أيضًا قيمة مقاييس التشتت.^[١]

ما أهمية مقاييس التشتت في الإحصاء؟

تكمن أهمية استخدام مقاييس التشتت في الإحصاء في دورها في وصف التباين في البيانات، ومدى انتشارها وتشتتها، ويمكن تلخيص أهمية استخدام مقاييس التشتت في الإحصاء في الآتي:^[٢]

• فهم توزيع البيانات وتحديد إن كان هنالك قيم متطرفة تؤثر على توزيعها.
• تحديد مدى دقة النتائج التي تم جمعها.
• تحديد مدى التغير المتوقع في البيانات المعطاة على المدى البعيد.
• القدرة على عمل مقارنة بين البيانات المختلفة من حيث التشتت.
• تنظيم الاستنتاجات المختلفة المستمدة من النزعة المركزية.
• تقييم متوسط المبيعات والربح والتكلفة، وما إلى ذلك في مختلف مجالات الاقتصاد.

ما أنواع مقاييس التشتت في الإحصاء؟

مقاييس التشتت يمكن تصنيفها إلى نوعين رئيسيين هما:

المقاييس المطلقة للتشتت

تتميز المقاييس المطلقة للتشتت أن لها نفس وحدة البيانات التي يتم فحصها، وغالبًا ما يتم استخدامها من أجل تحديد تشتت البيانات داخل التجربة، وأكثر هذه المقاييس استخدامًا وشيوعًا ما يأتي:^[١]

المدى

يُعد من أكثر مقاييس التشتت سهولة وشهرة، حيث يختصّ في حساب انتشار البيانات من خلال إيجاد الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة من بين هذه القيم المعطاة، ويتميز بسهولة حسابه وإعطائه فكرة سريعة عن تباعد البيانات أو تقاربها، ويُعبر عنه على النحو الآتي: (المدى = أكبر قيمة - أصغر قيمة).

ويمكن حساب المدى باتباع الخطوات الآتية:^[٣]

• ترتيب القيم المعطاة ترتيبًا تصاعديًا أو تنازليًا.
• تحديد أعلى وأقل قيمة في البيانات.
• إيجاد الفرق بين أكبر رقم وأصغر رقم في البيانات.

مثالًا على حساب المدى، ما مدى القيم الآتية: (1، 4، 27، 13، 30، 8، 25)؟

الحل:

• ترتيب القيم المعطاة تصاعديًا: (1، 4، 8، 13، 25، 27، 30).
• تحديد القيمة الكبرى والصغرى: القيمة الكبرى هي 30، والصغرى 1.
• استخدام قانون المدى: المدى = أكبر قيمة - أصغر قيمة.
• ناتج المدى: 30 - 1 = 29.

الانحراف المعياري

هو مقياس التشتت الذي يقيس مدى تباعد أو تقارب البيانات وانتشارها عن متوسطها الحسابيّ، ويمكن حسابه أيضًا عن طريق حساب الجذر التربيعي للتباين.

وهناك حالتين لحساب الانحراف المعياري:^[٤][٥]

• الانحراف المعياري لكافة البيانات: وذلك في حال استخدام كافة البيانات المراد حساب الانحراف المعياري لها، ولحسابه يجب إيجاد المتوسط الحسابيّ، أيّ تُستخدم مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت معًا لإيجاد الإنحراف المعياري، ويمكن تمثيل قانون الانحراف المعياري كالآتي: الانحراف المعياري= (( مجموع (القيمة - المتوسط الحسابي)² / عدد القيم) )√، وبالرموز: ع = ((مجموع (س-μ)²/ن))√، حيث أن:

س: القيم المدخلة.

√: رمز الجذر التربيعي.

μ: المتوسط الحسابي.

ن: عدد القيم.

• الانحراف المعياري للعينة: وذلك في حال استخدام عينة من البيانات المراد حساب الانحراف المعياري لها وليس جميعها، ويتم حسابه على النحو الآتي: الانحراف المعياري للعينة = (مجموع (القيمة-المتوسط الحسابي للعينة)² / (عدد القيم-1))√، وبالرموز ع = (مجموع (س-μ)² / (ن-1)]√، حيث أن:

س: القيم المشمولة في الحساب.

√: رمز الجذر التربيعي.

μ: المتوسط الحسابي.

ن: عدد القيم.

ن-1: تصحيح بسل (Bessel's correction).

وبالنسبة لخطوات حساب الانحراف المعياري، فتتمثل في الآتي:^[٦]

• إيجاد الوسط الحسابي للقيم من خلال قانون الوسط الحسابي = مجموع القيم/عددها.
• طرح الوسط الحسابي من كل قيمة من القيم، وتربيع القيمة الناتجة.
• إيجاد مجموع القيم المربعة السابقة.
• قسمة المجموع السابق على عدد القيم.
• إيجاد الجذر التربيعي للقيمة الناتجة.

مثال على حساب الانحراف المعياري، ما هو الانحراف المعياري للقيم (2،5،2،3)؟

الحل:

• إيجاد المتوسط الحسابي: الوسط الحسابي = مجموع القيم/عددها، أيّ (2+5+3+2)/4 = 12/ 4 = 3.
• عمل جدول: وذلك لطرح كل قيمة معطاة في البيانات من المتوسط الحسابيّ، وتربيعها، ثم جمع كل النتائج من عملية التربيع.

• إيجاد مقدار الإنحراف المعياري: (6/ 4)√ = 1.22.

التباين

يُعد مقياس من مقاييس التشتت، وهو يمثّل مربع الانحراف المعياري، ويُعبر عنه بالشكل الآتي: (التباين = ع²)، ومن خلال المثال السابق، فيمكن إيجاد مقدار التباين كالآتي:

التباين = (الانحراف المعياري)² = (1.22)² = 1.49

ويمكن التمييز بين التباين والانحراف المعياري؛ بأن الانحراف المعياري يقيس تشتت البيانات ومقدار الاختلاف فيها بالنسبة لمتوسطها الحسابي، أما التباين فهو يصف فقط الاختلاف بينها، ويحدد مقدار تشتت البيانات، وبعدها عن بعضها البعض وعن متوسطها الحسابي.^[٥]

الانحراف المتوسط

هو مجموع القيم المطلقة للانحرافات عن الوسط الحسابي مقسمةً على عددها، ويُستخدم لحساب المتوسط لبيانات غير مجمعة، أو لسلسلة متصلة، أو منفصلة، وصيغة الانحراف المتوسط تتمثل في: (مجموع |س-μ|) / ن، حيث إن:^[٧]

• س: كل قيمة في المجموعة.
• μ: متوسط مجموع القيم.
• | |: تمثل القيمة المطلقة.
• ن: عدد القيم.

ويتم حسابه باتباع الخطوات الآتية:

• إيجاد قيمة المتوسط للبيانات المعطاة.
• طرح قيمة المتوسط من كل قيمة من البيانات المعطاة.
• جمع ناتج القيم السابقة وتقسيمها على عددها.

مثال على حساب الانحراف المتوسط، ما هو الانحراف المتوسط لمجموعة البيانات الآتية: (2، 4، 8، 10)؟

الحل:

• إيجاد متوسط: المتوسط (μ) = (10+4+2+8)/4= الناتج= 6
• طرح المتوسط من كل قيمة: ويتم تجاهل الإشارة لوجود القيمة المطلقة.

• إيجاد مقدار الانحراف المعياري: وذلك بجمع القيم السابقة وتقسيمها على عددها، (4+2+2+4)/ 4 = 12/ 4 = 3.

الانحراف الربيعي

هو مقياس التشتت الذي يُمثل نصف الفرق بين الربيع الثالث والربيع الأول في مجموعة بيانات معينة، وقد يُستخدم أيضًا لحساب البيانات المجمعة، والقانون المستخدم لحساب الانحراف الربيعي يتمثل في الصيغة الآتية، Q = 2/ ( Q3 – Q1)، حيث إن:^[٨][٩]

• Q1: قيمة الربيع الأول، ويتم حسابها كالآتي (ن+1)/ 4
• Q3: قيمة الربيع الثالث، ويتم حسابها كالآتي (3×(ن+1))/ 4

حيث أن (ن) تمثل العدد الإجمالي للبيانات.

ولإيجاد مقدار الانحراف الربيعي عليك اتباع الخطوات الآتية:

• ترتيب البيانات المعطاة تصاعديًا.
• إيجاد ترتيب الربيع الأول.
• إيجاد ترتيب الربيع الثالث.
• تعويض القيم الناتجة في القانون السابق.

مثال على حساب الانحراف الربيعي، ما مقدار الانحراف الربيعي للقيم الآتية: (7، 11، 12، 15، 22، 18، 13، 14،16)؟

الحل:^[٨]

• ترتيب القيم تصاعديًا: (7، 11، 12، 13، 14، 15، 16، 18، 22).
• إيجاد ترتيب الربيع الأول: Q1= (ن+1)/ 4 = (9+1)/ 4 = 2.5، فترتيب الربيع الأول ضمن البيانات السابقة هو بين الثاني والثالث، أي قيمته تساوي [(12- 11)× 0.5]+ رقم الثاني في ترتيب البيانات (11)= 0.5+ 11= 11.50.
• إيجاد ترتيب الربيع الثالث: Q3= (( ن+1)× 3)/ 4 = (10×3)/ 4 = 7.5، فترتيب الربيع الثالث ضمن البيانات السابقة يأتي بين السابع والثامن، أي قيمته تساوي [(18- 16)× 0.5]+ رقم السابع في ترتيب البيانات (16)= 1+ 16= 17.
• إيجاد مقدار الانحراف الربيعي: (Q3- Q1)/ 2 = الناتج = (17- 11.5)/ 2 = 2.75.

المقاييس النسبية للتشتت

تُستخدم المقاييس النسبية للتشتت لمقارنة توزيع مجموعتين أو أكثر من البيانات، وتتم المقارنة دون الحاجة إلى استخدام وحدات، ومن أكثر مقاييس النسبية للتشتت شيوعًا ما يأتي:^[١٠][١]

• معامل المدى: وهو ناتج الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة مقسومًا على مجموعهما.^[١٠][١]
• معامل الانحراف المعياري: وهو مقياس نسبي للانحراف المعياري، ويتم تحديده من خلال قسمة الانحراف المعياري على متوسط مجموعة البيانات المحددة.^[١١]
• معامل التباين: نسبة الانحراف المعياري إلى متوسط مجموعة البيانات، ويتم التعبير عنه بالنسبة المئوية.^[١٠][١]
• معامل الانحراف المتوسط: نسبة الانحراف المتوسط إلى قيمة متوسط البيانات المعطاة.^[١٠][١]
• معامل الانحراف الربيعي: هو ناتج الفرق بين الربيع الثالث والربيع الأول مقسومًا على مجموعهما.^[١٠][١]

المراجع[+]

1. ^ ^{أ ب ت ث ج ح خ} "Measures of Dispersion", cuemath. Edited.
2. ↑ "Measure of Dispersion", testbook. Edited.
3. ↑ "How to Calculate Range", wikihow. Edited.
4. ↑ "How to Calculate Standard Deviation", heytutor. Edited.
5. ^ ^{أ ب} "Standard Deviation Formula and Uses vs. Variance", investopedia. Edited.
6. ↑ "calculate standard deviation", khanacademy. Edited.
7. ↑ "Mean Deviation ", toppr. Edited.
8. ^ ^{أ ب} "Quartile Deviation", wallstreetmojo. Edited.
9. ↑ "Quartiles, Quartile Deviation and Coefficient of Quartile Deviation", toppr. Edited.
10. ^ ^{أ ب ت ث ج} "Dispersion and Measures of Dispersion", byjus. Edited.
11. ↑ "Coefficient of Standard Deviation", geeksforgeeks. Edited.